数学学习的心理基础与过程:数学问题解决的评价框架(7月30日)

学习与评价
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        大家好,我是萧山区回澜小学的戴建莉,是朱乐平名师工作站第十九组的学员,希望通过“一课研究”的微信平台,与您在观点的碰撞、心灵的交流中,一起感受小学数学教学的魅力。

 
 
本期内容有哪些
 

1.听一听:数学问题解决的评价框架

2.读一读:被广泛引用的几种评价框架

3.想一想:评价即教学,会有哪些新的评价方式

 
 
 
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      相对于传统的评价理念来说,现代评价的目的是为了教学,或者说,评价即教学。因此,为了更有效地培养学生数学问题解决的能力,许多国家在数学课程标准中提出了系统的能力指标,如美国、德国、新加坡等。

《数学学习的心理基础与过程》在“8.4数学问题解决的评价”提出要“构建数学问题解决的评价框架,包括能力模型和相应的行为指标。”

传统问题解决评价的不足

由于受到心理计量理论的影响,数学问题解决的传统评价方式主要是标准化的纸笔测验,其基本假设是:(1)标准化情境可以增加评价结果解释的准确性;(2)个体在接受评价时会全力以赴;(3)测验结果足以提供教育方案或补救教学的参考。然而,在实际的课堂情境中,学习者本身的特质,与环境主、客观条件的互动关系,才是影响评价准确性的主因。

 

从20世纪80年代后期开始,标准化测验就一直饱受批评。数学家们认为:传统评价过于强调标准化的测验情境和终结性的测验目的,往往忽略了其他可能影响个体测验表现的因素:如学习策略、动机、适应性反应、决策过程、个人与社会关系等个体本身的行为类型。因而无法针对个别的反应去进行教学,无法在设计潜能效果的教学时提供更多处方性的信息。

这样的缺点,促使教育研究者去设计一种更能反映出个别学习者潜能优点、弱点的评价,以提供更多有效的解释信息。于是,动态评价、实作评价、档案袋评价等所谓的“另类”评价方式便应运而生。

被广泛引用的几种评价

框架或模型

为了全面、系统地评价学生的数学问题解决,在制作评价工具(如测试卷、观察表、档案袋等)之前,首先得构造评价框架或者模型。

一个评价框架或模型通常由若干个维度及每个维度上的多级指标体系所构成。目前,在数学问题解决的评价研究中,被广泛引用的评价框架或模型有以下几种。

 

1.达朗齐等人(Verhage&deLange,1997)的金字塔评价模型(图8—6)

 

2.汶森特等人(Vincent&Wilson,1996)把问题解决中的重要过程作为评价学生问题解决表现的指标,由此列出一个观察清单:

(1)对问题特征的理解是否清晰?

(2)是否选择了适当的策略解题?

(3)能否正确有效地执行所选择的策略?

(4)使用数学语言解释解题程序.

(5)是否能够根据数学逻辑推测有效的解题方法,并能将它有系统地表现在新的问题解决上?

(6)对数学问题所包含的意义与理由,能否给予清楚的解释?

(7)是否灵活地运用数学表征形式解题?

(8)当某解题策略有效可行时,能否归纳其重要概念?

 教师可以利用上述观察清单,在课堂上观察学生的解题过程,或者当学生向全班同学解说解题方法时,记录他们在这8个方面的表现情况;也可把观察记录表交给学生,让他们对自己的解题过程进行评分,如“3分”表示良好,“2分”表示尚可,“1分”表示待加强.通过这种观察,教师可以了解学生问题解决能力的发展情况,并针对不理想的部分进行指导。

 3.鲍建生在那哈拉(Nohara,2001)的总体难度(Overalldifficulty)模型基础上建立了下面的综合难度模型,区分出了5个难度因素,并将每个因素划分为若干个水平(表8—11)。

 

 4.在由OECD组织的“学生知识技能的测量:PISA 2000阅读、数学和科学素养的评价”(OECD,2000)中,数学评价的框架就是数学素养的三个维度:

●过程.核心是学生通过提出、形成和解决数学问题而进行分析、推理和交流的能力.过程可以分为三个层次:复制、定义和运算;问题解决过程中的联结与整合;数学化、数学思维和一般化.

●内容.PISA的评价焦点是所谓的数学核心思想(Bigideas),其中包括变化和增长率、空间与图形、机会、定量推理、不确定性和独立关系等.

●背景.数学素养的一个重要特征就是在各种情境中运用和应用数学,其中包括个人的生活、学校生活、工作和体育运动、地方社团等

 

为了更好地评价学生的数学能力(mathematical competency)的水平,PISA 2000还定义了数学思维的三个层次:

 (1)第一层次:复制、定义和运算.这一层次包含在大多数的标准化考试和国际比较研究中,通常以多项选择题的形式出现.它主要涉及的是事实、表示、认识等价的形式、回忆数学对象和性质、实施常规程序、应用标准算法和发展基本技能.

 (2)第二层次:问题解决过程中的联结与整合.通过联结不同领域的数学知识,综合相关的信息去解决简单的问题.虽然这里涉及的是非常规的数学问题,但通常只需较低层次的数学(Mathematisation)。在这一层次中,还要求学生根据不同的情境和目的处理不同的表示形式;区分和联系不同的命题,如定义、判断、例子、条件和证明;分解和解释符号以及形式的语言,并理解它们与自然语言之间的关系.在这一层次中,问题通常都有一定的背景,并要求学生进行数学的决策.

(3)第三层次:数学化、数学思维和一般化.在这一层次中,学生将处于数学化的情境中:认识和提取镶嵌在情境中的数学;利用数学去解决问题,分析、解释和发展他们自己的模式和策略;建立数学论断,包括证明和一般化.这些过程涉及到批判性思维、分析和反恩.学生不仅要能够解决问题,交流解题结果,而且要能够洞察数学作为一门科学的性质。

 

同时,PISA 2000还依据下述三个维度:

 ●任务所涉及的过程(processmg)和运算的次数和复杂性,其中包括单步骤问题和多步骤问题;

 ●联系和综合不同的材料,最简单的任务是运用单一的表示法或技术用于单一的信息,较复杂的问题需要学生在一系列的步骤中运用不同的表征、不同的数学工具或知识来联系或综合不同的信息;

 ●根据不同的情境和方法去解释和表征材料,从认识和运用熟悉的公式,到在不熟悉的情境中转换或构造恰当的模型,再到运用洞察力推理、论证和一般化.

  而将数学任务划分为三个难度水平:

 ● 难题:要求学生创造性地、积极地处理数学问题—一能够用数学术语去解释和形成问题;处理复杂的信息;简化解题的步骤.这一水平上学生能够在不熟悉的情境中确定和应用相关的工具和知识,运用洞察力去发现合适的解题方法,以及运用其他的高层次认知过程(如一般化、推理、论证)去解释和交流结果。

 ●中等题:学生能够解释、联系、综合问题的不同表征或者不同的信息;运用或操作与代数和符号表示相关的模型;检验和证实给定的模型和命题;能够处理给定的策略、模型和命题;能够选择与运用相关的数学知识去解决涉及少量步骤的问题。

 ●容易题:学生能够完成单一步骤的、复制基本数学事实或过程的、运用简单数学技能的问题;能够认识包含在图表和文字材料中的熟悉的、直接的信息,解释或推理通常只涉及问题的—个单一的、熟悉的因素;解题过程只涉及单一的步骤,并且运用常规的程序.

   TIMSS2003的评价框架包含两个维度:内容与认知,与前两次基本相同.其中,内容维度包括:数,代数,测量,几何与数据.认知维度包括:知道事实与程序,运用概念,解决常规问题,推理(M1dlis,2001).

 5.与卜述评价框架不同的是美国肯塔基州给出的基于问题解决者水平的评价模式。其中解题者的表现水平被划分为如下四个层次(表8—12)

 

评价目标

 纵观上述评价模型或框架,不难印证前ICⅦ的秘书长尼斯(MogensNiss)对20世纪国际数学教育评价的看法,他认为,在评价目标中占主导地位的内容仍然是:

  (1)数学事实,即定义、定理、公式,某些特殊的证明,历史、传记的资料(但遇到的机会非常罕见)。

 (2)获得数学结果的标准方法和技能(例如,质或量的结论,问题的解,结果的展示)。

 (3)标准的应用,即典型的非数学情境,通过明确的数学手段完满处理。

 评价目标正在日益增加但目前还为数有限,通常还包括:

  (4)启发式的证明方法,即非常规背景下形成数学结果的方法.

   (5)非典型的也许是复杂的、开放性的问题解决.

    (6)开放的、复杂的、不明确的,有时甚至是真实的,属于其他学科或实践领域的非数学情境,由个人以任何数学方法加以处理。

    (7)以探索和假设的形成作为评价目标。其中第(7)条很少遇到(1CMI研究丛书之二,1996).

  随着各国数学新课程的实施,上述情形目前已有所改变,出现了些新的评价方式。

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想一想

 

随着各国数学新课程的实施,上述情形目前已有所改变,会出现哪些新的评价方式?如何做到评价即教学呢?


 

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审核人:严虹   张晓东



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